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数据库范式对于数据库而言无疑是非常重要的（废话。。）本文主要内容为c++实现具有无损性连接和保持函数依赖的3NF分解。

上篇文章中已经对各个范式进行了介绍，在此不再赘述。

何为第三范式？

第三范式（3NF）要求一个数据库表中不包含已在其它表中已包含的非主关键字信息，即消除了传递依赖。

算法伪代码

输入：关系模式R及R上的函数依赖集F
输出：R的3NF无损连接和保持函数依赖的分解Result
步骤如下：
1.求F的极小覆盖Fm
右部极小化
左部极小化
规则个数极小化
2.求F的正则覆盖Fc
合并Fm中具有相同左部的FD的右部
3.Result初始置空
for(Fc中的每个FD X->Y) do
if(Result中存在关系模式Ri,使得Ri包含于XY)then
Result=Result-Ri ∪XY
else if(Result中不存在Ri使得XY包含于Ri)then
Result=Result∪XY
if(Result中的关系模式都不包含R中的任何码)then
将R中的一个码添加到Result中
R^'=A | A∈R,A不在F中出现
if(R’非空) then

将R’添加到Result中
return Result

算法C++实现（算法主体来自于@DarkSword）

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<stdio.h>
using namespace std;
 
string R; //关系模式
vector< pair<string,string> > F; // 函数依赖集（FD)
vector<string>subset; //关系模式 R 的所有子集
char *temp; //求所有子集的辅助变量
vector<string>candidate_key; // 所有的候选键
vector<string>super_key; //所有的超键

bool _includes(string s1,string s2){ //判断 s2 的每个元素是否都存在于 s1
	 sort(s1.begin(),s1.end());
	 sort(s2.begin(),s2.end());
	 return includes(s1.begin(),s1.end(),s2.begin(),s2.end()); // includes函数是基于有序集合的，所以先排序
}
bool _equal(string s1,string s2){ //判断两个集合是否相同
	 sort(s1.begin(),s2.end());
	 s1.erase( unique(s1.begin(),s1.end()),s1.end()); //排序去重之后判断是否相等即可
	 s2.erase( unique(s2.begin(),s2.end()),s2.end());
	 return s1==s2;
}
string get_attribute_closure(const string &X,const vector< pair<string,string> > &F){ //返回属性集X的闭包
	   string ans(X); //初始化 ans
	   string temp;
	   bool *vis = new bool[F.size()];
	   fill(vis,vis+F.size(),0);
	   do{
			temp=ans;
			for(int i=0;i!=F.size();++i){
				if(!vis[i] && _includes(ans,F[i].first) ){
					 vis[i]=1;
					 ans += F[i].second;
				}
			}
	   }while(temp!=ans); // ans 无任何改变时终止循环
 
	   delete []vis;
	   vis=NULL;
	   //删掉重复的
	   sort(ans.begin(),ans.end());
	   ans.erase( unique(ans.begin(),ans.end()),ans.end() );
	   return ans;
}
void _all_subset(int pos,int cnt,int num){ // get_all_subset()的辅助函数
	 if(num<=0){
		 temp[cnt]='\0';
		 subset.push_back(temp);
		 return ;
	 }
	 temp[cnt]=R[pos];
	 _all_subset(pos+1,cnt+1,num-1);
	 _all_subset(pos+1,cnt,num-1);
}
void get_all_subset(const string &R){ //求关系模式R的所有子集，保存在subset中
	 subset.clear();
	 temp=NULL;
	 temp=new char[R.size()];
	 _all_subset(0,R.length());
	 delete []temp;
	 temp=NULL;
}
bool is_candidate_key(const string &s){ //判断 s 是否是候选键
	 for(int i=0;i!=candidate_key.size();++i)
		 if(_includes(s,candidate_key[i])) //如果s包含了已知的候选键，那么s就不是候选键
			 return false;
	 return true;
}
 
bool cmp_length(const string &s1,const string &s2){ //对 subset 以字符串长度排序
	 return s1.length()<s2.length();
}
void get_candidate_key(const string &R,string> > &F){//求关系模式 R基于F的所有候选键
	 get_all_subset(R);
	 sort(subset.begin(),subset.end(),cmp_length);
	 candidate_key.clear();
	 super_key.clear();
	 for(int i=0;i!=subset.size();++i){
		 if( _includes( get_attribute_closure(subset[i],F),R) ){
			 super_key.push_back(subset[i]);
			 if(is_candidate_key(subset[i]))
				 candidate_key.push_back(subset[i]);
		 }
	 }
}
 
typedef vector<pair<string,string> > vpss;
vpss get_minimum_rely(const vpss &F){ //返回 F 的依赖集
	 vpss G(F);
	 //使 G 中每个 FD 的右边均为单属性
	 for(int i=0;i!=G.size();++i){
		 if(G[i].second.length()>1){
			 string f=G[i].first,s=G[i].second,temp;
			 G[i].second=s[0];
			 for(int j=1;j<s.length();++j){
				 temp=s[j];
				 G.push_back( make_pair(f,temp) );
			 }
		 }
	 }
 
	 int MAXN=0;
	 for(int i=0;i!=G.size();++i)
		 if(G[i].first.length()>MAXN)
			 MAXN=G[i].first.length();
	 bool *del=new bool[MAXN];
 
	 //在 G 的每个 FD 中消除左边冗余的属性
	 for(int i=0;i!=G.size();++i){
		 if(G[i].first.length()>1){
			 fill(del,del+G[i].first.length(),0);
			 for(int j=0;j!=G[i].first.length();++j){ //对于第i个FD,判断是否可消除first的第j个属性
				 string temp;
				 del[j]=1;
				 for(int k=0;k!=G[i].first.length();++k)
					 if(!del[k])
						 temp+=G[i].first[k];
				 if( ! _includes(get_attribute_closure(temp,G),G[i].second) ) //不可删除
					 del[j]=0;
			 }
			 string temp;
			 for(int j=0;j!=G[i].first.length();++j)
				 if(!del[j])
					temp+=G[i].first[j];
			 G[i].first=temp;
		 }
	 }
	 delete []del;
	 del=NULL;
 
	 //必须先去重
	 sort(G.begin(),G.end());
	 G.erase( unique(G.begin(),G.end()),G.end());
 
	 //在 G 中消除冗余的 FD
	 vpss ans;
	 for(int i=0;i!=G.size();++i){ //判断第i个 FD 是否冗余
		 vpss temp(G);
		 temp.erase(temp.begin()+i);
		 if( ! _includes(get_attribute_closure(G[i].first,temp),G[i].second) ) //第 i 个 FD 不是冗余
			 ans.push_back(G[i]);
	 }
	 return ans;
}

vector<string> split_to_3nf(const string &R,string> > &F){
	 vector< pair<string,string> > FF = get_minimum_rely(F); //保存 F的最小依赖集到 FF
	 // 把左部相同的 FD 用合并性合并起来
	 map<string,string> mp;
	 for(int i=0;i!=FF.size();++i){
		 if(mp.find(FF[i].first) == mp.end() )
			 mp[ FF[i].first ] = FF[i].second;
		 else
			 mp[ FF[i].first ] += FF[i].second;
	 }
 
	 FF.resize(mp.size());
	 int id=0;
	 map<string,string>::iterator It;
	 for(It=mp.begin(); It != mp.end(); ++It){
		 FF[id].first=It->first;
		 FF[id++].second=It->second;
	 }
	 // 每个 FD x->y 去构成一个模式 xy
	 vector<string> P;
	 for(int i=0;i!=FF.size();++i)
		 P.push_back(FF[i].first+FF[i].second);
 
	 get_candidate_key(R,F); //得到 R 的候选键
	 //在构成的模式集中，如果每个模式都不包含 R 的候选键，那么把候选键作为一个模式放入到模式集中
	 //这样得到的模式集是关系模式 R 的一个分解，并且这个分解既是无损分解，有能保持 FD .
	 for(int i=0;i!=candidate_key.size();++i){
		 int flag=0;
		 for(int j=0;j!=P.size();++j){
			 if( _includes(P[j],candidate_key[i]) ){
				 flag=1;
				 break;
			 }
		 }
		 if(!flag)
			 P.push_back(candidate_key[i]);
	 }
	 sort(P.begin(),P.end());
	 P.erase( unique(P.begin(),P.end()),P.end());
	 return P;
}
void init(){ //初始化
	 R="";
	 F.clear();
}
void inputR(){   //输入关系模式 R
	 cout<<"请输入关系模式 R:"<<endl;
	 cin>>R;
}
void inputF(){  //输入函数依赖集 F
	 int n;
	 string temp;
	 cout<<"请输入函数依赖的数目："<<endl;
	 cin>>n;
	 cout<<"请输入"<<n<<"个函数依赖：(输入形式为 a->b ab->c) "<<endl;
	 for(int i=0;i<n;++i){
		 pair<string,string>ps;
		 cin>>temp;
		 int j;
		 for(j=0;j!=temp.length();++j){ //读入 ps.first
			 if(temp[j]!='-'){
				 if(temp[j]=='>')
					break;
				 ps.first+=temp[j];
			 }
		 }
		 ps.second.assign(temp,j+1,string::npos); //读入 ps.second
		 F.push_back(ps); //读入ps
	 }
}
int main(){
		 freopen("in.txt","r",stdin);
		 init();
		 inputR();
		 inputF();
		 vector<string> ans=split_to_3nf(R,F);
		 cout<<"将关系模式 R 无损分解且保持依赖地分解成 3NF 模式集，如下："<<endl;
		 for(int i=0;i!=ans.size();++i)
			 cout<<ans[i]<<endl;
	return 0;
}

PS：代码亲测无误，不要用VC6.0运行（VC6.0对STL的标准支持的不好，编译可能会有很多Warning，运行会出错），可以使用DEV运行。

测试数据：

input sample
abcde
2
a->b
c->d

abc
2
a->b
bc->a

abcdef
4
ab->ef
d->e
e->f
cd->ef

abcdef
2
ab->cd
bc->ef

abcdef
4
ab->ef
c->d
d->e
bc->de

output sample

ab
ace
cd

ab
abc

abcd
abe
de
ef

abcd
bcef

abc
abef
cd
de

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