一、转换成3NF的保持函数依赖的分解

算法：

ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>,...,R_k<U_k,F_k>}是关系模式R<U,F>的一个分解，U={A₁,A₂,A_n}，F={FD₁,FD₂,FD_p}，并设F是一个最小依赖集，记FD_i为X_i→A_lj，其步骤如下：

①对R<U,F>的函数依赖集F进行极小化处理（处理后的结果仍记为F）；

②找出不在F中出现的属性，将这样的属性构成一个关系模式。把这些属性从U中去掉，剩余的属性仍记为U；

③若有X→AF，且XA=U，则ρ={R}，算法终止；

④否则，对F按具有相同左部的原则分组(假定分为k组)，每一组函数依赖F_i所涉及的全部属性形成一个属性集U_i。若U_iU_j(i≠j)，就去掉U_i。由于经过了步骤②，故

，于是构成的一个保持函数依赖的分解。并且，每个R_i(U_i,F_i)均属于3NF且保持函数依赖。

例1：关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,I,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→I,HI→C,HS→I}，将其分解成3NF并保持函数依赖。

解：根据算法进行求解

(一)计算F的最小函数依赖集

①利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖。由于F的所有函数依赖的右边都是单个属性，故不用分解。

②去掉F中多余的函数依赖

A．设CS→G为冗余的函数依赖，则去掉CS→G，得：

F1={C→T,HS→I}

计算(CS)_F1⁺：

设X⁽⁰⁾=CS

计算X⁽¹⁾：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为CS或CS子集的函数依赖，找到一个C→T函数依赖。故有X⁽¹⁾=X⁽⁰⁾∪T=CST。

计算X⁽²⁾：扫描F1中的各个函数依赖，找到左部为CST或CST子集的函数依赖，没有找到任何函数依赖。故有X⁽²⁾=X⁽¹⁾。算法终止。

(CS)_F1⁺= CST不包含G，故CS→G不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

B．设C→T为冗余的函数依赖，则去掉C→T，得：

F2={CS→G,HS→I}

计算(C)_F2⁺：

设X⁽⁰⁾=C

计算X⁽¹⁾：扫描F2中的各个函数依赖，没有找到左部为C的函数依赖。故有X⁽¹⁾=X⁽⁰⁾。算法终止。故C→T不是冗余的函数依赖，不能从F2中去掉。

C．设TH→I为冗余的函数依赖，则去掉TH→I，得：

F3={CS→G,HS→I}

计算(TH)_F3⁺：

设X⁽⁰⁾=TH

计算X⁽¹⁾：扫描F3中的各个函数依赖，没有找到左部为TH或TH子集的函数依赖。故有X⁽¹⁾=X⁽⁰⁾。算法终止。故TH→I不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。

D．设HI→C为冗余的函数依赖，则去掉HI→C，得：

F4={CS→G,HS→I}

计算(HI)_F4⁺：

设X⁽⁰⁾=HI

计算X⁽¹⁾：扫描F4中的各个函数依赖，没有找到左部为HI或HI子集的函数依赖。故有X⁽¹⁾=X⁽⁰⁾。算法终止。故HI→C不是冗余的函数依赖，不能从F4中去掉。

E．设HS→I为冗余的函数依赖，则去掉HS→I，得：

F5={CS→G,HI→C}

计算(HS)_F5⁺：

设X⁽⁰⁾=HS

计算X⁽¹⁾：扫描F5中的各个函数依赖，没有找到左部为HS或HS子集的函数依赖。故有X⁽¹⁾=X⁽⁰⁾。算法终止。故HS→I不是冗余的函数依赖，不能从F5中去掉。即：F5={CS→G,HS→I}

③去掉F5中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）

没有发现左边有多余属性的函数依赖。故最小函数依赖集为：

F={CS→G,HS→I}