求最小函数依赖集的方法

前端之家收集整理的这篇文章主要介绍了求最小函数依赖集的方法前端之家小编觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。

求最小函数依赖集分三步:

1.将F中的所有依赖右边化为单一元素

此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足

2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性

ab->g,也没有

cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i

F={abd->e,c->i,g->h};

3.去掉F中所有冗余依赖关系.

做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.

此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

同理(ab)+={a,f}也不包含g,故不是多余的.

b+={b}不多余,c+={c,i}不多余

c->i,g->h多不能去掉.

所以所求最小函数依赖集为 F={abd->e,g->h};

最小函数依赖集

  定义:如果函数依赖集F满足下列条件,则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。

  ① F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性

  ② F中不存在这样一个函数依赖X→A,使得F与F-{X→A}等价;

  ③ F中不存在这样一个函数依赖X→A,X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。

  算法:计算最小函数依赖集。

  输入 一个函数依赖集

  输出 F的一个等价的最小函数依赖集G

  步骤:① 用分解的法则,使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性

     ② 去掉多余的函数依赖:从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉,然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+,看X+是否包含Y,若是,则去掉X→Y;否则不能去掉,依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖;

     ③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A,若要判Y为多余的,则以X→A代替XY→A是否等价?若A属于(X)+,则Y是多余属性,可以去掉。

  举例:已知关系模式R,U={A,B,C,D,E,G},F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG},求F的最小函数依赖集。

  解1:利用算法求解,使得其满足三个条件

  ① 利用分解规则,将所有的函数依赖变成右边都是单个属性函数依赖,得F为:F={AB→C,D→E,D→G,CG→B,CG→D,CE→A,CE→G}

  ② 去掉F中多余的函数依赖

  A.设AB→C为冗余的函数依赖,则去掉AB→C,得:F1={D→E,CE→G}

  计算(AB)F1+:设X(0)=AB

  计算X(1):扫描F1中各个函数依赖,找到左部为AB或AB子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=AB,算法终止。

  (AB)F1+= AB不包含C,故AB→C不是冗余的函数依赖,不能从F1中去掉。

  B.设CG→B为冗余的函数依赖,则去掉CG→B,得:F2={AB→C,CE→G}

  计算(CG)F2+:设X(0)=CG

  计算X(1):扫描F2中的各个函数依赖,找到左部为CG或CG子集的函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

  计算X(2):扫描F2中的各个函数依赖,找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖,得到一个CG→D函数依赖。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。

  计算X(3):扫描F2中的各个函数依赖,找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖,得到两个ACD→B和D→E函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG,因为X(3)=U,算法终止。

  (CG)F2+=ABCDEG包含B,故CG→B是冗余的函数依赖,从F2中去掉。

  C.设CG→D为冗余的函数依赖,则去掉CG→D,得:F3={AB→C,CE→G}

  计算(CG)F3+:设X(0)=CG

  计算X(1):扫描F3中的各个函数依赖,找到左部为CG或CG子集的函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

  计算X(2):扫描F3中的各个函数依赖,找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖。故有X(2)=X(1),算法终止。(CG)F3+=ACG。

  (CG)F3+=ACG不包含D,故CG→D不是冗余的函数依赖,不能从F3中去掉。

  D.设CE→A为冗余的函数依赖,则去掉CE→A,得:F4={AB→C,CE→G}

  计算(CG)F4+:设X(0)=CE

  计算X(1):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为CE或CE子集的函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。

  计算X(2):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖,得到一个CE→G函数依赖。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。

  计算X(3):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖,得到一个CG→D函数依赖。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。

  计算X(4):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖,得到一个ACD→B函数依赖。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因为X(4)=U,算法终止。

  (CE)F4+=ABCDEG包含A,故CE→A是冗余的函数依赖,从F4中去掉。

  ③ 去掉F4中各函数依赖左边多余的属性(只检查左部不是单个属性函数依赖)由于C→A,函数依赖ACD→B中的属性A是多余的,去掉A得CD→B。

  故最小函数依赖集为:F={AB→C,CD→B,CE→G}

【注:书上利用Armstrong公理系统的推理规则求解,虽然过程简单,但是总有不足之处,这个是利用P93的证明来做,与书上描述类似,只不过描述语言更加通俗化了。希望可以对大家有帮助】

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